本文发表在 rolia.net 枫下论坛关于称小球问题，一般是这样的：
有N个小球外形无区别，但是有一个在质量上与其他的球不一样。用天平称最少m次一定将
不同的球找出来。显然随N增大，m不会减小。现在想解决的问题是对于任何给定的次数m,
找出在该次数下能解决的最大的N值,用Nmax来表示。并给出对应于(Nmax,m)的一种解法.
现在来求m次所能解决的上限Nmax(m)问题。
为解决这个问题，我们给出几个引理。
引理一：无论加上什么其他的附加条件，只要k个球中的任一个都有可能是坏球（概率不
为0），则当k>3^L时，称L次是称不出来的。这里的附加条件包括已知坏球是否重于好球,
除k个未知球外还提供若干个标准球，以及k个球中某些的质量和大于另外一些的和等等，
只要在这些条件下k个球中的任一个都还有可能是坏球就可以是引理所说的附加条件。
证明：很显然，若k>3^L，则哪个球是坏球一共有k中情况，而称L次一共有3^L种情况，
由k>3^L知不可能一定分辨出哪个球是坏球。
引理二：如果另外在提供任意多个标准球（即在N个未知球外还任给标准球作"砝码"用）?nbsp;
则称m次最多能从N1max(m)=(3^m+1)/2个球中找出坏球来。
证明：对该引理的证明可以采用数学归纳法。
当m=1时，显然若只有两个球，则任挑一个与另外的标准球比较（额外提供的，不是
两个中的），若相等则是剩下那一个，若不等则是这一个。所以N1max(1)>=2。
而对于三个球的情况，如果第一次称用了两个或三个未知球，则无法判断出用
过的球中谁是坏球（只称一次），而如果第一次称只用了一个未知球，则剩下
的两个球无法区分。因此一次不能解决三个球的问题。所以N1max(1)<3。
由N1max(1)<3和N1max(1)>=2知，N1max=2。
设当m<=k-1时命题都成立，则考虑m=k的情况。
第一次称不能使用超过3^(k-1)个未知球，否则如果坏球在这超过3^(k-1)个
球中的话，由引理一，在剩下的(k-1)次中不能肯定找出这个坏球来?nbsp;
另外，若第一次称碰到的都是好球，则第一次称后的结果就是多提供了一些
标准球（这个结果对已经提供了任意个标准球的情况是毫无意义的）和缩小
坏球的范围到剩下的球中。由归纳假设，剩下的球的数目不超过N1max(k-1)
才能保证一定能称出来。所以：N1max(k)<=3^(k-1)+N1max(k-1)=(3^k+1)/2。
如果有(3^k+1)/2个未知球，则第一次将3^(k-1)个未知球和提供的3^(k-1)个
未知球比较：如果相等，则坏球在剩下的N1max(k-1)个中，由归纳假设能分
出来；如果不等，则坏球在这3^(k-1)个中，但是同时知道了坏球是轻还是
重，由三分法可以很容易用k-1次找出来。所以对于(3^k+1)/2个未知球的情
况，是能够用k次找出坏球来的。即N1max(k)>=(3^k+1)/2.
由前面的推导知，N1max(k)=(3^k+1)/2。所以m=k时命题也成立。
由数学归纳法,所以N1max(k)=(3^k+1)/2对所有的自然数k都成立。
引理二得证。
引理三：Nmax(m)<=(3^m-1)/2。(m>=2)
证明：在原来的称小球问题中，起初没有提供标准球，所以第一次称的数目必须是偶数，
由和引理二中推导N1max(m)时类似，有如下结论：
Nmax(m)<=N1max(m-1) + [3^(m-1)-1]
^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^
若第一次称平衡了最多剩下的球数 第一次称最多使用的球数，必须是偶数
所以Nmax(m)<=(3^m-1)/2=N1max(m)-1。命题得证。
到此为止，我们求出了称小球问题的一个上界Nmax(m)<=(3^m-1)/2。（m>=2)
在后面我们将证明这是一个上确界，即Nmax(m)=(3^m-1)/2。
对于m=1的情况，由于必须有两个以上球（否则无所谓好坏球），所以一次是怎么也称不
出来的，因此我们不讨论m=1的情况。
对于N(m)=(3^m-1)/2个小球，现在我们来寻求m次的解法。
首先，对于m=2的情况，相当于四个小球来称两次的情况，这个已经讨论过多次了，也很
简单，在此略去?nbsp;
其次，若m?lt;=k-1时，假定对于N(k-1)=(3^(k-1)-1)/2个球的情况我们都有解法。
现在来考虑m=k的情况。
第一次称取[3^(k-1)-1]个球放在天平天平两端，则：
如果平衡，获得[3^(k-1)-1]个标准球，坏球在剩下的[3^(k-1)+1]/2个中。由于
[3^(k-1)-1]>=[3^(k-1)+1]/2，（k>=2),即已知的标准球数不小于未知球数?nbsp;
所以在以后的测量中就相当于任意给定标准球的情况，由前面的引理二可知
对于[3^(k-1)+1]/2的情况(k-1)次可解。
如果不平衡，大的那方记做A,小的那方记作B。标准球记做C.
则现在我们有[3^(k-1)-1]/2个A球和B球，有[3^(k-1)+1]/2个C球。
第二次用3^(k-2)个A球加[3^(k-2)-1]/2个B球放左边?nbsp;
3^(k-2)个C球加[3^(k-2)-1]/2个A球放右边。
如果左边大于右边，则说明是在左边的3^(k-2)个A球中质量大的为坏球；
如果左边等于右边，则说明是在第二次称时没用的3^(k-2)个B球中质量轻
的为坏球。以上两种情况都可以再用三分法(k-2)次解决，加上前两
次共k次解决。
如果左边小于右边，则坏球在左边的[3^(k-2)-1]/2个B球中或在右边的同样
数目的A球中。此时的情况和第二次开始时类似（只不过是k-1变成k-2).
用相同的办法一直往下追溯到一个A球和一个B球一次区分的情况，这时
只需拿A球和标准球比较以下就行了。
因此在这种情况下也是可以最终用k次解决的。
由以上两步加上数学归纳法知，对于N(m)=(3^m-1)/2的情况，称m次是可以称出来的。
由这个解法加上前面所给出的上界Nmax(m)<=(3^m-1)/2，知称m次能解决的最大的小球数
Nmax(m)=(3^m-1)/2。
有兴趣的人可以验证一下m=3,N=13的情况----该情况已经被反复拿出来讨论过了。更多精彩文章及讨论，请光临枫下论坛 rolia.net
有N个小球外形无区别，但是有一个在质量上与其他的球不一样。用天平称最少m次一定将
不同的球找出来。显然随N增大，m不会减小。现在想解决的问题是对于任何给定的次数m,
找出在该次数下能解决的最大的N值,用Nmax来表示。并给出对应于(Nmax,m)的一种解法.
现在来求m次所能解决的上限Nmax(m)问题。
为解决这个问题，我们给出几个引理。
引理一：无论加上什么其他的附加条件，只要k个球中的任一个都有可能是坏球（概率不
为0），则当k>3^L时，称L次是称不出来的。这里的附加条件包括已知坏球是否重于好球,
除k个未知球外还提供若干个标准球，以及k个球中某些的质量和大于另外一些的和等等，
只要在这些条件下k个球中的任一个都还有可能是坏球就可以是引理所说的附加条件。
证明：很显然，若k>3^L，则哪个球是坏球一共有k中情况，而称L次一共有3^L种情况，
由k>3^L知不可能一定分辨出哪个球是坏球。
引理二：如果另外在提供任意多个标准球（即在N个未知球外还任给标准球作"砝码"用）?nbsp;
则称m次最多能从N1max(m)=(3^m+1)/2个球中找出坏球来。
证明：对该引理的证明可以采用数学归纳法。
当m=1时，显然若只有两个球，则任挑一个与另外的标准球比较（额外提供的，不是
两个中的），若相等则是剩下那一个，若不等则是这一个。所以N1max(1)>=2。
而对于三个球的情况，如果第一次称用了两个或三个未知球，则无法判断出用
过的球中谁是坏球（只称一次），而如果第一次称只用了一个未知球，则剩下
的两个球无法区分。因此一次不能解决三个球的问题。所以N1max(1)<3。
由N1max(1)<3和N1max(1)>=2知，N1max=2。
设当m<=k-1时命题都成立，则考虑m=k的情况。
第一次称不能使用超过3^(k-1)个未知球，否则如果坏球在这超过3^(k-1)个
球中的话，由引理一，在剩下的(k-1)次中不能肯定找出这个坏球来?nbsp;
另外，若第一次称碰到的都是好球，则第一次称后的结果就是多提供了一些
标准球（这个结果对已经提供了任意个标准球的情况是毫无意义的）和缩小
坏球的范围到剩下的球中。由归纳假设，剩下的球的数目不超过N1max(k-1)
才能保证一定能称出来。所以：N1max(k)<=3^(k-1)+N1max(k-1)=(3^k+1)/2。
如果有(3^k+1)/2个未知球，则第一次将3^(k-1)个未知球和提供的3^(k-1)个
未知球比较：如果相等，则坏球在剩下的N1max(k-1)个中，由归纳假设能分
出来；如果不等，则坏球在这3^(k-1)个中，但是同时知道了坏球是轻还是
重，由三分法可以很容易用k-1次找出来。所以对于(3^k+1)/2个未知球的情
况，是能够用k次找出坏球来的。即N1max(k)>=(3^k+1)/2.
由前面的推导知，N1max(k)=(3^k+1)/2。所以m=k时命题也成立。
由数学归纳法,所以N1max(k)=(3^k+1)/2对所有的自然数k都成立。
引理二得证。
引理三：Nmax(m)<=(3^m-1)/2。(m>=2)
证明：在原来的称小球问题中，起初没有提供标准球，所以第一次称的数目必须是偶数，
由和引理二中推导N1max(m)时类似，有如下结论：
Nmax(m)<=N1max(m-1) + [3^(m-1)-1]
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若第一次称平衡了最多剩下的球数 第一次称最多使用的球数，必须是偶数
所以Nmax(m)<=(3^m-1)/2=N1max(m)-1。命题得证。
到此为止，我们求出了称小球问题的一个上界Nmax(m)<=(3^m-1)/2。（m>=2)
在后面我们将证明这是一个上确界，即Nmax(m)=(3^m-1)/2。
对于m=1的情况，由于必须有两个以上球（否则无所谓好坏球），所以一次是怎么也称不
出来的，因此我们不讨论m=1的情况。
对于N(m)=(3^m-1)/2个小球，现在我们来寻求m次的解法。
首先，对于m=2的情况，相当于四个小球来称两次的情况，这个已经讨论过多次了，也很
简单，在此略去?nbsp;
其次，若m?lt;=k-1时，假定对于N(k-1)=(3^(k-1)-1)/2个球的情况我们都有解法。
现在来考虑m=k的情况。
第一次称取[3^(k-1)-1]个球放在天平天平两端，则：
如果平衡，获得[3^(k-1)-1]个标准球，坏球在剩下的[3^(k-1)+1]/2个中。由于
[3^(k-1)-1]>=[3^(k-1)+1]/2，（k>=2),即已知的标准球数不小于未知球数?nbsp;
所以在以后的测量中就相当于任意给定标准球的情况，由前面的引理二可知
对于[3^(k-1)+1]/2的情况(k-1)次可解。
如果不平衡，大的那方记做A,小的那方记作B。标准球记做C.
则现在我们有[3^(k-1)-1]/2个A球和B球，有[3^(k-1)+1]/2个C球。
第二次用3^(k-2)个A球加[3^(k-2)-1]/2个B球放左边?nbsp;
3^(k-2)个C球加[3^(k-2)-1]/2个A球放右边。
如果左边大于右边，则说明是在左边的3^(k-2)个A球中质量大的为坏球；
如果左边等于右边，则说明是在第二次称时没用的3^(k-2)个B球中质量轻
的为坏球。以上两种情况都可以再用三分法(k-2)次解决，加上前两
次共k次解决。
如果左边小于右边，则坏球在左边的[3^(k-2)-1]/2个B球中或在右边的同样
数目的A球中。此时的情况和第二次开始时类似（只不过是k-1变成k-2).
用相同的办法一直往下追溯到一个A球和一个B球一次区分的情况，这时
只需拿A球和标准球比较以下就行了。
因此在这种情况下也是可以最终用k次解决的。
由以上两步加上数学归纳法知，对于N(m)=(3^m-1)/2的情况，称m次是可以称出来的。
由这个解法加上前面所给出的上界Nmax(m)<=(3^m-1)/2，知称m次能解决的最大的小球数
Nmax(m)=(3^m-1)/2。
有兴趣的人可以验证一下m=3,N=13的情况----该情况已经被反复拿出来讨论过了。更多精彩文章及讨论，请光临枫下论坛 rolia.net