本文发表在 rolia.net 枫下论坛1, Suppose the target ball is X, and standard ball is S. Devide the balls into 3 groups with 4 balls each, mark them as Group A, B, C;

2, Weight A versus B, for the weight there're two situations:

2.1 A and B weight the same: The ball X must in Group C, and all balls in A and B are standard balls S. Mark C balls as C1, C2, C3, C4. Weight 2 standard balls versus C1 and C2. (second pass). If C1 + C2 <> 2S. Either C1 or C2 must be X, mark them as Cx1 and Cx2; Other wise C1 + C2 = 2S, either C3 or C4 must be X, mark them as Cx1 and Cx2.

2.1.1 Weight S versus Cx1. (third pass) If Cx1 = S, then Cx2 = X ; otherwise Cx1 = X. (end)

2.2 A and B weight differently, then every ball in C is S. Mark balls in A and B as A1, A2, A3, A4 and B1...B4. Suppose A > B. Weight A1, A2, B1, B2 (AB12) versus 4S.

2.2.a If AB12 > 4S, then X is among A12 (because A>B). Mark A1 as Cx1, A2 as Cx2, goto step 2.1.1.

2.2.b If AB12 < 4S, then X is among B12. Mark B1 as Cx1, B2 as Cx2. goto step 2.1.1.

2.2.c If AB12 = 4S, then X is among AB34, and A34 > B34.更多精彩文章及讨论，请光临枫下论坛 rolia.net

3. pick up any two balls, weigh the 3rd time. If they are equal, the one not picked up is A. If not, the heavier one is A.

本文发表在 rolia.net 枫下论坛关于称小球问题，一般是这样的：
有N个小球外形无区别，但是有一个在质量上与其他的球不一样。用天平称最少m次一定将
不同的球找出来。显然随N增大，m不会减小。现在想解决的问题是对于任何给定的次数m,
找出在该次数下能解决的最大的N值,用Nmax来表示。并给出对应于(Nmax,m)的一种解法.

现在来求m次所能解决的上限Nmax(m)问题。
为解决这个问题，我们给出几个引理。

引理一：无论加上什么其他的附加条件，只要k个球中的任一个都有可能是坏球（概率不
为0），则当k>3^L时，称L次是称不出来的。这里的附加条件包括已知坏球是否重于好球,
除k个未知球外还提供若干个标准球，以及k个球中某些的质量和大于另外一些的和等等，
只要在这些条件下k个球中的任一个都还有可能是坏球就可以是引理所说的附加条件。
证明：很显然，若k>3^L，则哪个球是坏球一共有k中情况，而称L次一共有3^L种情况，
由k>3^L知不可能一定分辨出哪个球是坏球。

引理二：如果另外在提供任意多个标准球（即在N个未知球外还任给标准球作"砝码"用）?nbsp;
则称m次最多能从N1max(m)=(3^m+1)/2个球中找出坏球来。
证明：对该引理的证明可以采用数学归纳法。
当m=1时，显然若只有两个球，则任挑一个与另外的标准球比较（额外提供的，不是
两个中的），若相等则是剩下那一个，若不等则是这一个。所以N1max(1)>=2。
而对于三个球的情况，如果第一次称用了两个或三个未知球，则无法判断出用
过的球中谁是坏球（只称一次），而如果第一次称只用了一个未知球，则剩下
的两个球无法区分。因此一次不能解决三个球的问题。所以N1max(1)<3。
由N1max(1)<3和N1max(1)>=2知，N1max=2。
设当m<=k-1时命题都成立，则考虑m=k的情况。
第一次称不能使用超过3^(k-1)个未知球，否则如果坏球在这超过3^(k-1)个
球中的话，由引理一，在剩下的(k-1)次中不能肯定找出这个坏球来?nbsp;
另外，若第一次称碰到的都是好球，则第一次称后的结果就是多提供了一些
标准球（这个结果对已经提供了任意个标准球的情况是毫无意义的）和缩小
坏球的范围到剩下的球中。由归纳假设，剩下的球的数目不超过N1max(k-1)
才能保证一定能称出来。所以：N1max(k)<=3^(k-1)+N1max(k-1)=(3^k+1)/2。
如果有(3^k+1)/2个未知球，则第一次将3^(k-1)个未知球和提供的3^(k-1)个
未知球比较：如果相等，则坏球在剩下的N1max(k-1)个中，由归纳假设能分
出来；如果不等，则坏球在这3^(k-1)个中，但是同时知道了坏球是轻还是
重，由三分法可以很容易用k-1次找出来。所以对于(3^k+1)/2个未知球的情
况，是能够用k次找出坏球来的。即N1max(k)>=(3^k+1)/2.
由前面的推导知，N1max(k)=(3^k+1)/2。所以m=k时命题也成立。
由数学归纳法,所以N1max(k)=(3^k+1)/2对所有的自然数k都成立。
引理二得证。

引理三：Nmax(m)<=(3^m-1)/2。(m>=2)
证明：在原来的称小球问题中，起初没有提供标准球，所以第一次称的数目必须是偶数，
由和引理二中推导N1max(m)时类似，有如下结论：
Nmax(m)<=N1max(m-1) + [3^(m-1)-1]
^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^
若第一次称平衡了最多剩下的球数 第一次称最多使用的球数，必须是偶数
所以Nmax(m)<=(3^m-1)/2=N1max(m)-1。命题得证。

到此为止，我们求出了称小球问题的一个上界Nmax(m)<=(3^m-1)/2。（m>=2)
在后面我们将证明这是一个上确界，即Nmax(m)=(3^m-1)/2。
对于m=1的情况，由于必须有两个以上球（否则无所谓好坏球），所以一次是怎么也称不
出来的，因此我们不讨论m=1的情况。

对于N(m)=(3^m-1)/2个小球，现在我们来寻求m次的解法。
首先，对于m=2的情况，相当于四个小球来称两次的情况，这个已经讨论过多次了，也很
简单，在此略去?nbsp;
其次，若m?lt;=k-1时，假定对于N(k-1)=(3^(k-1)-1)/2个球的情况我们都有解法。
现在来考虑m=k的情况。
第一次称取[3^(k-1)-1]个球放在天平天平两端，则：
如果平衡，获得[3^(k-1)-1]个标准球，坏球在剩下的[3^(k-1)+1]/2个中。由于
[3^(k-1)-1]>=[3^(k-1)+1]/2，（k>=2),即已知的标准球数不小于未知球数?nbsp;
所以在以后的测量中就相当于任意给定标准球的情况，由前面的引理二可知
对于[3^(k-1)+1]/2的情况(k-1)次可解。
如果不平衡，大的那方记做A,小的那方记作B。标准球记做C.
则现在我们有[3^(k-1)-1]/2个A球和B球，有[3^(k-1)+1]/2个C球。
第二次用3^(k-2)个A球加[3^(k-2)-1]/2个B球放左边?nbsp;
3^(k-2)个C球加[3^(k-2)-1]/2个A球放右边。
如果左边大于右边，则说明是在左边的3^(k-2)个A球中质量大的为坏球；
如果左边等于右边，则说明是在第二次称时没用的3^(k-2)个B球中质量轻
的为坏球。以上两种情况都可以再用三分法(k-2)次解决，加上前两
次共k次解决。
如果左边小于右边，则坏球在左边的[3^(k-2)-1]/2个B球中或在右边的同样
数目的A球中。此时的情况和第二次开始时类似（只不过是k-1变成k-2).
用相同的办法一直往下追溯到一个A球和一个B球一次区分的情况，这时
只需拿A球和标准球比较以下就行了。
因此在这种情况下也是可以最终用k次解决的。
由以上两步加上数学归纳法知，对于N(m)=(3^m-1)/2的情况，称m次是可以称出来的。

由这个解法加上前面所给出的上界Nmax(m)<=(3^m-1)/2，知称m次能解决的最大的小球数
Nmax(m)=(3^m-1)/2。
有兴趣的人可以验证一下m=3,N=13的情况----该情况已经被反复拿出来讨论过了。更多精彩文章及讨论，请光临枫下论坛 rolia.net

Divide the 12 ball into 4 3ball group A,B,C and D. Measure A and B, now you know the different ball is in A,B or C,D.Say it is in A and B, A>B. , then measure A1+B2to B1+A2, if it the same, then the different ball is A3 or B3, then measure C1+C2with A3+C1,if it is the same, B3 is the different ball, if it is different, A3 is the different ball. But if A1+B2 >B1+A2, then it means A2, B2 did not change the weight difference, so the different ball is in A1 and B1, then measure A1+C3and C1+C2, you can get the different one. If A1+B2<B1+A2, means the A2 and B2 change the weight difference, so the different ball is in A2 and B2, then measure A2+C3and C1+C2, you can get the different one.

本文发表在 rolia.net 枫下论坛先给小球分三组并编号,
第一组: 1, 2, 3, 4,
第二组: 5, 6, 7, 8,
第三组: 9, 10, 11, 12

第一次用天平: 任取两组小球放上天平, 假设取第一和第二组, 有两种可能,
1. 两组相等, 则判断小球在第三组, 接着用下面几小步可找出小球:
1) 第二次用天平: 从1-8中任取两小球(假设1,2), 从第三组中任取两小球(假设9,10),
放上天平: 如果相等,则是11或12; 如果不相等,则是9或10. 现假设小球是11或12,
2) 第三次用天平: 从1-10中任取一小球(假设取1号球), 从11,12中任取一(假设取11号球),
放上天平:　如果相等，则是１２号球，如果不相等则是１１号球．
２．两组不相等，判断小球在第一（１－４号球）或第二组（５－６号球）中，假设天平
　　左向上右向下倾斜，记住该特征．
　　１）第二次用天平：
　　　　左边天平：放４号，５号，６号
　　　　右边天平：放７号，１号，９号（９号从第三组中取）
　　　　此时，第一组中还剩下２号和３号，第二次组剩下８号．
　　　　Ａ）如果相等：则判断小球在２，３，８中，
　　　　　　第三次用天平，取２，３放上天平，如果相等，是８号球，
　　　　　　如果不等，可判断该小球轻于其他球，则轻的小球是也．
　　　　Ｂ）如果天平左向上右向下，即和第一次称特征一样：则判断小球是４号或７号，
　　　　　　第三次用天平，方法同第一种情况的第二步．
　　　　Ｃ）如果天平左向上右向下：判断小球在１，５，６中，
　　　　　　第三次用天平，方法类似Ａ）,取５，６放上天平，.....更多精彩文章及讨论，请光临枫下论坛 rolia.net

任取8个小球，分两组，各4个，用天平秤。
如果平衡，说明轻的球在剩下的4个里面。取出剩下4个，分两组，再秤。可以找到轻一些的两个球，再秤最后一次，得到答案。
如果不平衡，说明轻的球是取出来的8个球中的一个。于是也是得到4个球，如上法所说，再秤两次，得到答案。

就是这样了

也是分三组,各4 个球.
先秤两组, 如果不平衡, 那么此球肯定在这八个里. 如果此球比其它重的话, 当各拿去两个时, 假设它还在盘中那它一方, 肯定更往下倾斜, 这样一来只需将重的一方两个在称一次, 那个重的就是它. 反之如果它轻的话, 当各那掉两个相同的, 它会微微向下一点, 同样只需在称一下这两个, 轻的就是了. 如果它在那没被称的四个里, 放入盘中各两个, 然后各拿起一个其它相同的, 各放入其中(记住它们). 如果它重, 它那方将稍比刚才翘起, 然后将重的那方原来的两个再称一下, 重的就是. 依此类推.